Clase 5
ESTIMADOR PUNTUAL
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL
ESTIMADOR PUNTUAL
Un estimador puntual es un estadístico único para calcular un parámetro poblacional (Fig. 1)
Ejemplos: Suponga que
1. Best Buy, desea estimar la media de los compradores de televisores de plasma de alta definición; selecciona una muestra aleatoria de 50 compradores recientes, determina la edad de cada uno de ellos y calcula la edad media de los compradores de la muestra. Así la media de esta muestra es un estimador puntual
2. La oficina del Turismo de Barbados desea conocer la cantidad media que gastan los turistas que visitan el país. Se seleccionan al azar 500 turistas y se les pregunta sobre los gastos realizados su visita. Así la media de esta muestra es un estimador puntual
ESTIMADOR POR INTERVALO
Un estimador puntual sólo dice parte de la historia. Ya que aunque se espera se aproxime al valor del estimador poblacional, es conveniente medir que tan próximo se encuentra de la realidad. Un intervalo de confianza sirve para ese propósito.
Por ejemplo:
El salario mínimo diario (SMD) en la ciudad de México es de $80.4 (estimador puntual), pero si se establece que el valor aproximado del SMD oscila entre $79.5 y 80.5 se establece un intervalo. Para describir cuánto es posible confiar en que el parámetro poblacional se encuentre en ese intervalo, se debe considerar utilizar un enunciado probabilístico.
Así se puede identificar que con un 95% de seguridad o de confianza el SMD en la ciudad de México se encuentra entre $79.5 y $80.5
x ̅ - Z σ/√n ≤ μ ≤ x ̅ +Z σ/√n
Cómo calcular Zc
Paso 1. nivel de confianza /2
Paso 2. buscar en la tabla central de la normal
Paso 3. sumar el renglón más la columna
Ejemplo: Calcule Zc para 90%, 95%, 99%
Solución:
1.645, 1.96, 2.575
Ejercicios
1. Se toma una muestra de 49 observaciones de una población normal con una desviación estándar de 10. La media de la muestra es de 55. Determine el intervalo de confianza de 99% de la media poblacional
2.Se toma una muestra de 81 observaciones de una población normal con una desviación estándar de 5. La media de la muestra es de 40. Determine el intervalo de confianza de 95% de la media poblacional
Características de la distribución t-student
1. Es continua
2. Simétrica y en forma de campana
3. Conforme aumenta el tamaño de la muestra, se aproxima a la distribución normal
Como calcular el valor de t
Paso 1. Se obtienen los grados de libertad (n-1), para ubicar el renglón de interés
Paso 2. Se busca en dos colas con el grado de confianza referido, para ubicar la columna de interés
Paso 3. Se obtiene t
Ejemplo: Encuentra el valor de t para una muestra de 15 elementos y un 90% de confianza.
Solución 1.761
EJERCICIOS DE INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
Y
TAMAÑO DE MUESTRA
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
EJERCICIOS INTERVALOS DE CONFIANZA PARA MEDIAS MUESTRAS GRANDES
Ejercicio 1
Se sabe que la velocidad de los coches que circulan por una carretera es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación estándar 12 km/hora.
a. Se toma una muestra aleatoria de 400 coches que da una velocidad media de 87 km/hora. Obtenga un intervalo con un 95% de confianza, para la velocidad media del total de coches que circulan por esa carretera.
El número de horas semanales que los estudiantes de Bachillerato de una ciudad dedican al deporte se distribuye según una ley Normal de media= 8 y varianza = 7.29
a Para muestras de tamaño 36, indique cuál es el intervalo de confianza del 82.5%?
b Cuál será el intervalo de confianza del 93.5%?
c Compare y Concluya
Ejercicio 3
La duración de un cierto tipo de bombillas eléctricas se distribuye según una ley Normal con desviación estándar 1500 horas.
a) Si en una muestra de tamaño 100, tomada al azar, se ha observado que la vida media es de 9900 horas, determine un intervalo, con el 95% de confianza, para la vida media de esta clase de bombillas.
Ejercicio 4
Las medias de los diámetros de una muestra aleatoria de 200 bolas de rodamientos producidas en una máquina en una semana dieron una media de 0.824cm y una desviación estándar de
Sm = 0.042 cm. Hallar intervalos de confianza al (a) 95 %, (b) 99 %,(c) 98 % y(d) 99.73 %. Ordena esos intervalos por su anchura.
Ejercicio 5
De una cierta población se ha extraído una muestra aleatoria de tamaño n = 10, resultando ¯x = 35 y Sm = 3. Calcular un intervalo de confianza al 95 % para la media poblacional.
Ejercicio 6
Se obtuvo una muestra de 1000 individuos adultos aparentemente sanos con el fin de establecer un patrón con respecto a lo que se considera un nivel normal de calcio en sangre. Se extrajo una muestra de sangre de cada uno de los individuos. La variable X del estudio es el número de miligramos de calcio por decilitro de sangre. Se obtuvo una media muestral de 9.5 y una desviación estándar Sm de 0.5. Hallar un intervalo de confianza para µX al 95 %.
Ejercicio 7
Las granjas de patos, alineadas en las orillas del Great South Bay, han contaminado seriamente el agua. Uno de los contaminantes es el nitrógeno en forma de ácido úrico. La siguiente es una muestra aleatoria de nueve observaciones de X, número de libras de nitrógeno producidas por granja y día: 4.9 5.8 5.9 6.5 5.5 5.0 5.6 6.0 5.7 Suponiendo que X es normal, construir un intervalo de confianza al 99 % para µX.
Ejercicio 8
Al medir el tiempo de reacción en un grupo de individuos, un psicólogo estima que la desviación estándar es 0.05 segundos. ¿De qué tamaño ha de tomarse una muestra de medidas para tener una confianza del (a) 95 % y (b) 99 % de que el error no supera los 0.01 segundos?
Ejercicio 9
Una muestra aleatoria (con n = 144) extraída de una población normal de varianza igual a 100 presenta una media muestral igual a 160. Se pide (a) calcular un intervalo al 95 % de confianza para la media poblacional, (b) calcular un intervalo al 90 % de confianza para la media poblacional, (c) si se quiere tener una confianza al 95 % de que la estimación se encuentra a una distancia de ±1.2cm de la verdadera media poblacional, ¿cuántas observaciones adicionales deben tomarse?
Ejercicio 10
Se quiere conocer la permanencia media de pacientes en un hospital, con el fin de estudiar una posible ampliación del mismo. Se obtienen datos referidos a la estancia (expresada en días) de 800 pacientes, con estos resultados: x¯ = 8.1 días, s = 9 días Obtener un intervalo de confianza al 95 % para la estancia media.
EJERCICIOS INTERVALOS DE CONFIANZA PARA MEDIAS MUESTRAS PEQUEÑAS
1. Una muestra aleatoria de 25 personas empleadas por el Gobierno del Distrito Federal para los festejos de las fiestas patrias, ganaban un salario promedio de $65 por hora, con una desviación estándar de $6.25
a) Construya un intervalo de confianza de 97% para el salario medio de la población
b) De que tamaño debe ser la muestra para calcular la media poblacional con un error admisible de $1, y una confianza del 90%?
2. Una muestra de 12 personas reveló las cantidades que gastaron el mes pasado en parquímetros
64,66,64,66,59,62
67,61,64,58,54,66
Construya un intervalo de confianza del 95% para el gasto mensual en parquímetros
3. Un estudio de 25 graduados de Universidades de 4 años, reveló que la cantidad media que debían por concepto de crédito estudiantil era de $14,381, con una desviación estándar de $1892
a) Construya el intervalo de confianza al 90% de la población
b) Es razonable utilizar como media poblacional de $15,000? Porqué?
EJERCICIOS DE TAMAÑO DE MUESTRA PARA MEDIA
1. La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personas de una ciudad es 1,75 m. Se sabe que la estatura de las personas de esa ciudad es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con varianza σ2 = 0,16 m2.
A. Construye un intervalo, de un 75% de confianza, para la media de las estaturas de la población.
B. ¿Cuál sería el mínimo tamaño muestral necesario para que pueda decirse que la verdadera media de las estaturas está a menos de 2 cm de la media muestral, con un nivel de confianza del 90%?
2. Un biólogo quiere estimar el peso promedio de los ciervos cazados en el estado de Maryland. Un estudio anterior de diez ciervos cazados mostró que la desviación estándar de sus pesos es de 12.2 libras. ¿Qué tan grande debe ser una muestra para que el biólogo tenga el 95% de confianza de que el error de estimación es a lo más de 4 libras?
3. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente normal con una desviación estándar de 40 horas.
a) ¿De qué tamaño se necesita una muestra si se desea tener 96% de confianza que la media real esté dentro de 10 horas de la media real?
b) ¿Qué pasaría si en lugar de tener un error de estimación de 10 horas sólo se requiere un error de 5 horas?
EJERCICIOS DE INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES
1. El propietario de una estación de gasolina, desea determinar la proporción de clientes que utilizan tarjeta ya sea de crédito o débito para pagar el consumo de gasolina. Entrevistó a 100 clientes y descubrió que 80 pagaron con ella.
a Calcule el valor de la proporción de la población
b Construya el intervalo de confianza de 95% de la proporción poblacional
c Interprete sus conclusiones
2. All Printing compra tazas de plástico para imprimir en ellas logotipos de eventos. El propietario, recibió un evento grande esta mañana. Para asegurarse de la calidad del envío, seleccionó una muestra aleatoria de 300 tazas y encontró 15 defectuosas.
a) Calcule la proporción aproximada de tazas defectuosas en la población
b) Construya el intervalo de confianza de 89% de la proporción de tazas defectuosas
c) Interprete sus conclusiones
3. Fox TV ha considerado reemplazar uno de sus programas de investigación criminal que se transmite durante las horas de una mayor audiencia. Antes de tomar una decisión, los ejecutivos estudian una muestra de 400 telespectadores, de los cuáles 250 sugirieron reemplazar el programa de investigación criminal.
a Calcule el valor de la proporción de la población
b Construya el intervalo de confianza de 92% de la proporción de la población
c Interprete sus conclusiones
EJERCICIOS DE TAMAÑO DE MUESTRA PARA PROPORCIONES
1. Las encuestas revelan que el 30% de los turistas que van a las Vegas a jugar durante el fin de semana gastan más de $1000 dólares cada uno. La gerencia desea actualizar ese porcentaje. El nuevo estudio utilizará un nivel de confianza del 90%. El estimador estará a menos del 1% de la proporción de la población. De que tamaño debe ser la muestra?
2. El IMSS en su campaña para control de peso reporta que de 2700 registrados, 459 perdieron peso, con la dieta proporcionada. Qué tan grande debe ser la muestra para estimar la proporción dentro de 0.5 por ciento?
3. La Secretaría de Turismo panea hacer un muestreo de la información que proporcione una muestra de los campistas. Los cálculos actuales indican que 35% de los turistas acampan. De que tamaño debe ser la muestra para calcular la proporción de la población con una confianza del 95% y un error admisible de 2%?
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