ANOVA DOS FACTORES

Es un diseño de anova que permite estudiar simultáneamente los efectos de dos fuentes de variación.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2.

3.

ANOVA

PRUEBA F ANOVA (Análisis de la Técnica de la Varianza)

Se trata de realizar una prueba de hipótesis para comparar tres o más medias poblacionales (m), para determinar si pueden ser iguales. Se utiliza la distribución de probabilidad  F.

Características

1. Las poblaciones siguen una distribución normal

2. Las poblaciones tienen desviaciones estándares iguales (s)

3. Las poblaciones son independientes

Ejercicios

1. Las aerolíneas desde hace algún tiempo han reducido sus servicios como alimentos y bocadillos durante sus vuelos, y empezaron a cobrar un precio adicional por algunos de ellos. Una empresa realizó una encuesta de 25 preguntas con 4 posibles respuestas: para excelente se consideraron 4 puntos, para bueno 3, para regular 2 y para deficiente 1. La calificación mayor será de 100 puntos.

De acuerdo a los siguientes valores obtenidos al encuestar pasajeros de 4 aerolíneas. ¿Hay alguna diferencia entre los niveles de satisfacción medios con respecto a las 4 aerolíneas? Use un nivel de significancia de 0.01

Northern	WTA	Pocono	Branson
94	75	70	68
90	68	73	70
85	77	76	72
80	83	78	65
	88	80	74
		68
		65

2. Se quiere evaluar la eficacia de distintas dosis de un fármaco contra la hipertensión arterial, comparándola con la de una dieta sin sal. Para ello se seleccionan al azar 25 hipertensos y se distribuyen aleatoriamente en 5 grupos. Al primero de ellos no se le suministra ningún tratamiento, al segundo una dieta con un contenido pobre en sal, al tercero una dieta sin sal, al cuarto el fármaco a una dosis determinada y al quinto el mismo fármaco a otra dosis. Las presiones arteriales sistólicas de los 25 sujetos al finalizar los tratamientos son:

Grupo
1	2	3	4	5
180	172	163	158	147
173	158	170	146	152
175	167	158	160	143
182	160	162	171	155
181	175	170	155	160

Hay diferencia significativa de la eficacia del tratamiento contra la hipertensión,  entre los cinco grupos?

3 Para determinar si existe diferencia significativa en el nivel de Matemáticas de 4 grupos de estudiantes  de Ingeniería   se realizó un examen aleatorio a 6 individuos por grupo. Determine cuáles son los grupos en los cuales existen diferencias a un 95% de nivel de confianza.

A	B	C	D
75	78	55	64
93	91	66	72
78	97	49	68
71	82	64	77
63	85	70	56
76	77	68	95

ANÁLISIS DE VARIANZA

TEMA: ANÁLISIS DE VARIANZA

SUBTEMA: PRUEBA F PARA LA RAZÓN DE DOS VARIANZAS

Se trata de realizar una prueba de hipótesis para varianzas s². Con ella se prueba si dos muestras provienen de poblaciones que tienen varianzas iguales. Se utiliza la distribución de probabilidad  F, la cual debe su nombre a sir Ronald Fisher, utilizando n-1 grados de libertad de cada muestra.

Características

1. Existe una familia de distribuciones F

2. La distribución F es continua

3. La distribución F no puede ser negativa

4. Tiene sesgo positivo

5. Es asintótica

TABLAS DE LA DISTRIBUCIÓN F

EJEMPLO 

1. Un servicio de Limusinas  considera dos rutas al aeropuerto. Una por la carretera 25 y otra por la autopista I-75. El Gerente está interesado en comparar los tiempos de las dos rutas para saber si existe alguna diferencia entre la variación  de los tiempos de manejo de las dos rutas. Usando un nivel de significancia de 0.10, realice una prueba de hipótesis considerando los siguientes valores maestrales.

Carretera 25	Autopista I-75
52	59
67	60
56	61
45	51
70	56
54	63
64	57
	65

EJERCICIOS DE CLASE

1.  Un profesor quiere determinar si hay mayor variabilidad en las puntuaciones de los exámenes finales de los alumnos que toman el curso de Introducción a la Contabilidad, pero que no están estudiando la carrera de Contaduría, que en las de aquellos que toman el curso y estudian la carrera de Contaduría. Para determinarlo toma una muestra de  13 alumnos de su lista que no están estudiando Contaduría y una muestra de 10 alumnos de su lista que están estudiando Contaduría, compruebe la sospecha del profesor  con un nivel de significancia del 0.05. Considere los siguientes datos:

n1=13	n2=10
varianza=210.2	varianza=36.5

2.  El corporativo de un banco desea conocer si existe evidencia de una variabilidad en los tiempos de espera para mejorar el proceso de atención, de una sucursal ubicada en una zona residencial  y otra  ubicada en zona comercial.  Considere un nivel de significancia del 10%  y los siguientes datos:

Zona Residencial

4.21	5.55	3.02	5.13	4.77	2.4	3.54
6.19	6.46	5.12	0.38	6.1	4.5	3.2

Zona Comercial

9.66	5.9	8.02	5.79	8.73	3.82	8.01
9.91	6.17	4.08	5.64	6.68	10.49	8.35

3. La escala de evaluación de la  ansiedad  que provocan las computadoras en las computadoras utilizan una escala desde 20 (sin ansiedad), hasta 100 (mayor ansiedad).  Investigadores de la Universidad de Miami, aplicaron esta prueba a 172 estudiantes, con el fin de evaluar si existe mayor variabilidad en la ansiedad en los hombres que estudian administración que en las mujeres. Los resultados fueron los siguientes:

Medida	Hombres	Mujeres
media	40.26	36.85
Varianza	13.35	9.42
Tamaño de muestra	100	72

 Con un nivel de significancia del 0.01. Pruebe la sospecha de la Universidad de Miami

4. Un estudio sobre los hábitos de escuchar iPod de hombres y mujeres, identificó que el tiempo medio de escucha de los hombres era de 35 minutos por día, en una muestra de 10 hombres, con una desviación estándar de 10 minutos por día.  El tiempo medio de escucha de las 12 mujeres estudiadas también fue de 35 minutos, pero la desviación estándar fue de 12  minutos por día. A un nivel de significancia de 0.10 ¿Puede concluir que hay variación entre los tiempos de escucha de los hombres y de las mujeres?

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

 

Prueba de Hipótesis para Diferencia de Proporciones

1.  Un estudio de mercado sobre una nueva fragancia tiene interés en conocer si hay alguna diferencia entre las proporciones de mujeres jóvenes y mayores que comprarían el perfume si  saliera al mercado, con un nivel de significancia del 5%. Una muestra de 100 mujeres jóvenes reveló que a 19 les gustó la fragancia lo suficiente para comprarla. De manera similar, una muestra de 200 mujeres mayores reveló que a 62 les gustó la fragancia lo suficiente para comprarla. Que recomendación haría?

2. A una muestra nacional de republicanos y demócratas influyentes se les preguntó  como parte de una encuesta, si estarían a favor de relajar las normas ambientales para que pudieran quemar carbón con alto contenido de azufre en las plantas eléctricas. Con un nivel de significancia del 2% ¿Puede concluir que hay una proporción mayor de demócratas en favor de relajar las normas?

	Republicanos	Demócratas
Número en la muestra	1000	800
Número a favor	200	168

3. Como parte de una encuesta reciente entre parejas en que los dos cónyuges trabajan, determinó que 990 hombres de 1500 encuestados creen que es justa la división de tareas domésticas. Una muestra de1600 mujeres reveló que 970 creen que la división es justa. Con un nivel de confianza del 99%. ¿Es razonable concluir que es menor la proporción de mujeres que creen que es justa la división de tareas domésticas?

4. Al encuestar a 300 mujeres casadas y 200 hombres casados, cien mujeres y 36 hombres indicaron que sus mascotas sabían escuchar mejor que sus cónyuges. Con un nivel de significancia del 5% ¿Existe diferencia entre las respuestas de hombre y de mujeres?   

PRUEBA DE HIPÓTESIS DIFERENCIA DE MEDIAS

PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DIFERENCIA DE MEDIAS

1. Los clientes de los supermercados FoodTown tienen dos opciones para pagar sus compras, la tradicional, donde les cobra un cajero y el procedimiento Fast Lane, donde el cliente registra cada artículo, lo pone en una bolsa y coloca sus bolsas en un carrito. Este procedimiento está diseñado para reducir el tiempo que los clientes pierden en la fila de la caja. El gerente de la tienda desea saber si el tiempo medio de pago con el método tradicional es mayor que con Fast Lane.

Tipo de cliente	Media Muestral	Desviación Estándar de la población	Tamaño de la muestra
Tradicional	5.50 minutos	0.40 minutos	50
Fast lane	5.30 minutos	0.30 minutos	100

Utilice un nivel de significancia de 0.05

2. La compañía Gibbs Baby desea comparar el aumento de peso de bebés que consumen  su producto en comparación con el producto de su competidor. Una muestra de 40 bebés que consumieron productos Gibbs reveló un aumento de peso medio de 7.6 libras en los primeros tres meses de vida., con una desviación estándar de la población es  de 2.3 libras. Una muestra de 55 bebés que consumen la marca del competidor reveló un aumento medio de 8.1 libras, con una desviación estándar de la población de 2.9 libras. Con un nivel de significancia de 0.01, es posible concluir que los bebés que consumieron la marca Gibbs ganaron menos peso?

3. Una muestra de 35 empleados de Cincinnati indica que viajan en promedio 370 millas al mes. Una muestra de 40 empleados de Pittsburg indica que viajan una media de 380 millas al mes. La desviación estándar es de 30 y 26 millas respectivamente. Con un nivel de significancia de 0.1 ¿existe alguna diferencia entre el npumero promedio de millas recorrido al mes entre los empleados de los dos lugares?

4. Es razonable concluir que las enfermeras sindicalizadas ganan más?. Utilice un nivel de significancia de 0.02

Grupo	Salario medio	Desviación estándar de la población	Tamaño de muestra
Sindicalizadas	20.75	2.25	40
No sindicalizadas	19.80	1.90	45

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES

PRUEBA DE HIPOTESIS

PARA PROPORCIONES

Ejemplos:

1. General Motors informa que 70% de los vehículos rentados se devuelven con menos de 36,000 millas. Una muestra reciente de 200 vehículos devueltos al final de su periodo de renta mostró que 158 tenían menos de 36,000 millas. Se incrementó la proporción?

2. La American Association Retired Persons (AARP) informa que 60% de sus retirados de menos de 65 años de edad regresaría a trabajar de tiempo completo si hubiera disponible un trabajo adecuado. Una muestra de 500 retirados de menos de 65 años, reveló  que 315 volverían a trabajar. Puede concluir que más del 60% volvería a trabajar?

3. Una compañía de mudanzas anuncia a sus clientes que el traslado a grandes distancias de sus bienes familiares se entregarán de 3 a 5 días después de recogerlos. Los registros mues5ran que han tenido éxito el 90% de las veces. Una auditoría reciente mostró que de 200 veces, 190 tuvieron éxito. La compañía puede concluir que aumentó el registro de éxitos?

4. Domino´s Pizza afirma que 90% de sus pedidos se entrega en 10minutos desde que se hace el pedido. Una muestra de 25 pedidos mostró que 20 se entregaron en el tiempo prometido. Con un nivel de significancia del 0.10  puede concluir que menos de 90% de los pedidos se entregó en menos de 10 minutos?

5. En la Universidad de Toledo 50% de los estudiantes cambia de área de estudio el primer año. Una muestra aleatoria de 100 estudiantes de la facultad de administración reveló que 48 habían cambiado de área después del primer año del programa de estudios.  Hubo una reducción significativa de la proporción de estudiantes que cambian de área el primer año? Utilice un nivel de significancia de 0.05

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA MEDIAS

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA MEDIAS

Procedimiento basado en evidencia de la muestra y la teoría de la probabilidad  para probar la validez de un enunciado (Hipótesis) relativo a un parámetro poblacional

PROCEDIMIENTO 

PASO 1. Plantear las hipótesis

HIPÓTESIS NULA  Ho:

Enunciado relativo al valor de un parámetro poblacional que se formula con el fin de probar evidencia numérica.

La letra H significa hipótesis y el subíndice cero no hay diferencia.

Los signos  relacionados con la hipótesis nula son : igual, mayor o igual y menor o igual

El planteamiento de la hipótesis nula siempre contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro.

HIPÓTESIS ALTERNA Ha:

Enunciado que se acepta si los datos de la muestra ofrecen suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula.

Se le conoce también como la hipótesis de investigación. Lo que se quiere probar

Los signos  relacionados con la hipótesis nula son: diferente, mayor y menor

Ejemplo

Objetivo: probar que el rendimiento académico de los niños EN ÁREAS RURALES es distinto de 6.5

Ho: En promedio los niños de áreas rurales tienen un rendimiento académico de 6.5

Ha: En promedio los niños de áreas rurales tienen un rendimiento académico distinto de 6.5 PROBAR

PASO 2. Seleccionar el nivel de significancia

Nivel de significancia: Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.

Se le denota mediante la letra griega α, también es denominada como nivel de riesgo, este término es más adecuado ya que se corre el riesgo de rechazar la hipótesis nula, cuando en realidad es verdadera. (Error Tipo I )

PASO 5. Tomar una decisión

En este último paso de la prueba de hipótesis, se calcula el estadístico de prueba, se compara con el valor crítico y se toma la decisión de rechazar o no la hipótesis nula.

En una prueba de hipótesis solo se puede tomar una de dos decisiones: aceptar o rechazar la hipótesis nula.

Siempre existe la posibilidad de rechazar la hipótesis nula cuando no debería haberse rechazado (error tipo I).

O bien, la posibilidad de que la hipótesis nula se acepte cuando debería haberse rechazado (error de tipo II).

EJERCICIOS PRUEBA DE 

HIPÓTESIS

PARA UNA MEDIA

   Problema 1

Antes de publicar un nuevo libro de cocina, se desea probar la hipótesis, con un nivel de significancia del 2% de que el precio promedio de tales libros es de $35 dólares. ¿esta afirmación se sustenta si una muestra de 50 libros de cocina tiene una media de $32.97 dólares y una desviación estándar de $12.87 dólares?

   Problema 2

   En un estudio de flujo de pacientes a través de las oficinas de médicos generales, se  

   encontró, que en promedio, una muestra de 35 pacientes llegaban 17.2 minutos tarde a

   las citas. Una investigación previa había demostrado que la desviación estándar de la

   población era de 15 minutos aproximadamente. ¿puede concluirse que el tiempo medio

   de retraso verdadero es mayor que 12 minutos? Sea un nivel de significancia de 5%

  
   Problema 3. 

   Se tiene una muestra de 50 elementos, cuya media es de 9.46 y su desviación estándar

   de 2. Con un nivel de significación de 0.05, pruebe si la media poblacional es menor a

   10.

Problema 4.
Una muestra de 40 elementos produce una media de 16.5 y una desviación estándar de 7, con un nivel de confianza de 98%. Pruebe si la media poblacional es mayor a 15.

Problema 5. 

Una empresa de mercadotecnia, indica que tiene un tiempo promedio para contestar una encuesta de 15 min, si se tarda más la encuesta se aplica una tarifa adicional. Se toma una muestra de 35 llamadas, y se obtiene una media de 17 minutos con una desviación estándar de 4 minutos. Se justifica una tarifa adicional?. Con un nivel de significancia de 0.01.

Problema 6. 

Se pesa el contenido de 16 cajas de Corn Flakes y se obtiene un peso de 198.93 gms. en promedio, con una desviación estándar de 5 gms. Las cajas aseguran que contienen 200 gms. de cereal . Con un nivel de significación de 10%.¿Se puede asegurar que las diferencias en el peso promedio se deben al azar? (Hint: utiliza t-student)

   Problema 7. 

Seducido por los comerciales, usted ha sido persuadido para comprar un nuevo automóvil. Usted piensa que tendrá que pagar $25,000 dólares por el auto que desea. Como comprador cuidadoso, averigua el precio de 40 automóviles y encuentra un costo promedio de $27,312 dólares, con una desviación estándar de $8,012 dólares. Pruebe la hipótesis de que el precio promedio es $25,000 dólares con un nivel de significancia del 10%. ¿cuál es su conclusión?

   Problema 8. 

El supermercado local gastó remodelando miles de dólares durante muchas semanas. Antes de remodelar, los recibos de la tienda promediaban $32,533 dólares por semana. Ahora que se ha terminado la remodelación el gerente toma una muestra de 28 semanas para ver si la construcción afectó de alguna manera el negocio. Se reportó una media de $34,166 dólares y una desviación estándar de $12,955 dólares. ¿qué puede decidir el gerente a un nivel de significancia del 1%?

   Problema 9. 

Como gerente de compras para una gran empresa de seguros usted debe decidir si actualizar o no las computadoras de la oficina. A usted se le ha dicho que el costo promedio de las computadoras es menor a $2,100 dólares. Una muestra de 64 minoristas revela un precio promedio de $2,050 dólares con una desviación de $812 dólares. ¿a un nivel de significancia del 5% parece que la información es correcta?

Problema 10.

Un artículo publicado en la revista del Gourmet Mexicano describe los resultados de pruebas de cocción de 22 muestras de relleno de chiles en nogada. El tiempo de cocción se describe a continuación:

19.8	18.5	17.6	16.7	15.8
15.4	14.1	13.6	11.9	11.4
11.4	8.8	7.5	15.4	15.4
19.5	14.9	12.7	11.9	11.4
10.1	7.9

¿Sugieren los datos que el tiempo promedio de cocción es mayor que 15 minutos? Supóngase que el tiempo de cocción tiene una distribución normal, y utilice un nivel de confianza del 95%. Concluya